Параллелограмм. Параллелограмм Как найти наибольшую высоту параллелограмма
Параллелограмм - это четырехугольник с противолежащими и попарно параллельными друг другу сторонами.
Высота параллелограмма - это линия, перпендикулярная одной из сторон параллелограмма и соединяющая эту сторону с противолежащим углом.
Для того чтобы узнать, как найти длину высоты параллелограмма, обратимся к формулам. Высота чаще всего обозначается буквой h.
Способ нахождения высоты зависит от известных нам величин в задании. Рассмотрим разные способы на конкретных примерах.
Пример 1
Даны площадь (S) и длина основания (a).
- Формула: h=S/a
Пример: Площадь параллелограмма равна 100 см 2 , основание, к которому проведена высота, равно 20 см. Найдите высоту.
- h= 100/20 =5
- Ответ: 5 см
Пример 2
Даны длина прилежащей к высоте стороны параллелограмма (b) и угол, противоположный самой высоте (a).
- Формула: h = b* sin a
Пример: Обозначим наш параллелограмм буквами ABCD, высота BE проходит из угла ABC к стороне AD. Длина стороны AB равна 20 см, угол BAD равен 30 градусов. Найдите высоту.
- h = 20 * sin 30° = 20 * 0,5 = 10
Ответ: 10 см
Пример 3
Даны длина стороны параллелограмма, прилегающая к высоте (n) и длина отсекаемой от основания части стороны (m).
- h = корень из (n 2 - m 2)
Пример: в параллелограмме ABCD высота BE проходит из угла ABC к стороне AD. Длина AB равна 5 см, длина АЕ равна 3 см. Найдите высоту.
- h = корень из (AD 2 - AB 2)
- h = корень из (5 2 -3 2) = 4
- Ответ: 4 см
Пример 4
Даны длина диагонали, выходящей из того же угла, что и высота (d), и длина отсекаемой от основания части стороны (m).
- h= корень из (d 2 - m 2)
Пример: в параллелограмме ABCD высота BE проходит из угла ABC к стороне AD. Диагональ BD равна 5 см, длина ED = 4 см.
- h = корень из (BD 2 - ED 2)
- h= корень из (5 2 - 4 2) = 3
- Ответ: 3 см
Если в задании требуется найти большую высоту параллелограмма, то необходимо посчитать длины обеих высот и выбрать наибольшее значение.
Найдите диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма. Используя теорему косинусов, можно найти биссектрисы параллелограмма через стороны. Если известна величина угла (α) в какой-либо из вершин параллелограмма, а также длины сторон (a и b), образующих этот угол, найти большую из высот тоже будет не очень несложно.
Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена площадь (S) фигуры, формула расчета большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Не зная площади, но имея длины всех сторон треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины — полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат пополам: р = (a+b+c)/2.
Из полученного значения извлеките квадратный корень √(р*(р-a)*(р-b)*(р-c)) и не удивляйтесь — вы использовали формулу Герона для нахождения площади треугольника. Для определения длины наибольшей высоты осталось заменить полученным выражением площадь в формуле из второго шага: Hₐ = 2*√(р*(р-a)*(р-b)*(р-c))/a.
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). См. также: Свойства и площадь параллелограмма. Затем, зная один из углов, в зависимости от того, какая высота была дана, отнимаем его из 180 градусов, чтобы найти второй. Используя эту же теорему косинусов, можно найти угол между диагоналями в одном из четырех треугольников, образованных ими, где сторонами являются половины диагоналей и одна из сторон параллелограмма.
У нас есть много людей, которые помогут Вам здесь Кроме того, мой последний вопрос был решен менее чем за 10 минут:D Во всяком случае, Вы можете просто войти и попробовать добавить свой вопрос. Параллелограмм — это один из видов четырехугольников, а высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины к противолежащей стороне.
Трижды умножьте полупериметр на разность между ним и каждой из сторон: р*(р-a)*(р-b)*(р-c). Для этого величину длинной стороны умножьте на синус известного угла, а результат разделите на длину короткой стороны: Hₐ = b*sin(α)/a. Результаты ЕГЭ зависят не только от знаний и умений выпускника: немаловажным является также правильное заполнение…
Бесплатная помощь с домашними заданиями
Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Тебе необходимо научиться правильно и ПОЛНОСТЬЮ формулировать вопрос. Надо написать полностью условие задачи. Треугольник считается равнобедренным, так как из свойств биссектрисы и суммы углов в треугольнике следует, что углы при основании такого треугольника конгруэнтны. Помогите,пожалуйста, решить одну задачу.
Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма. Периметр параллелограмма, зная стороны, выглядит как их удвоенная сумма, а площадь является произведением высоты и стороны, на которую она опущена.
Как определить высоту параллелограмма, зная некоторые из его остальных параметров? Таких, как площадь, длины диагоналей и сторон, величины углов.
Вам понадобится
- калькулятор
Инструкция
1. В задачах по геометрии, вернее по планиметрии и тригонометрии, изредка требуется обнаружить высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.Дабы обнаружить высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, нужно воспользоваться правилом определения площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как вестимо, равняется произведению высоты на длину основания:S=a*h, где:S – площадь параллелограмма,а – длина основания параллелограмма,h – длина опущенной на сторону а высоты, (либо на ее продолжение).Отсель получаем, что высота параллелограмма будет равняться площади, поделенной на длину основания:h=S/aНапример,дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание – 10 см.;обнаружить: высоту параллелограмма.h=50/10=5 (см).
2. Потому что высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный треугольник, то для нахождения высоты параллелограмма дозволено применять некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных треугольников.Если знамениты прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма необходимо умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:h=d*sinA,скажем, если d=10 см, а угол А=30 градусов, тоH=10*sin(30?)=10*1/2=5 (см).
3. Если в условиях задачи заданы длина прилежащей к высоте h (DE) стороне параллелограмма d (AD) и длина отсекаемой высотой части основания (АЕ), то высоту параллелограмма дозволено обнаружить воспользовавшись теоремой Пифагора:|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, откуда определяем:h=|ED|=?(|AD|^2-|AE|^2),т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания.Скажем, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет:h=?(5^2-3^2)=4 (см).
4. Если знамениты длина прилежащей к высоте диагональ (DВ) параллелограмма и длина отсекаемой высотой части основания (ВЕ), то высоту параллелограмма дозволено также обнаружить воспользовавшись теоремой Пифагора:|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, откуда определяем:h=|ED|=?(|ВD|^2-|ВE|^2),т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей диагонали и отсекаемой высотой (и диагональю) части основания.Скажем, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 4 см, то длина высоты будет:h=?(5^2-4^2)=3 (см).
Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, тот, что соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не идентичны, если хоть одна из сторон многоугольника имеет хорошую от других величину. Следственно в задачах из курса геометрии изредка требуется определить длину большей высоты, скажем, треугольника либо параллелограмма.
Инструкция
1. Определите, которая из высот многоугольника должна иметь крупнейшую длину. В треугольнике это отрезок, опущенный на самую короткую сторону, следственно если в начальных условиях даны размеры всех 3 сторон, то гадать не придется.
2. Если помимо длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена площадь (S) фигуры, формула расчета большей из высот (H?) будет довольно примитивна. Удвойте площадь и поделите полученное значение на длину короткой стороны – это и будет желанная высота: H? = 2*S/a.
3. Не зная площади, но имея длины всех сторон треугольника (a, b и c), тоже дозволено обнаружить самую длинную из его высот, впрочем математических операций будет гораздо огромнее. Начните с вычисления вспомогательной величины – полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и поделите итог напополам: р = (a+b+c)/2.
4. Трижды умножьте полупериметр на разность между ним и всякой из сторон: р*(р-a)*(р-b)*(р-c). Из полученного значения извлеките квадратный корень?(р*(р-a)*(р-b)*(р-c)) и не изумляйтесь – вы применяли формулу Герона для нахождения площади треугольника. Для определения длины наибольшей высоты осталось заменить полученным выражением площадь в формуле из второго шага: H? = 2*?(р*(р-a)*(р-b)*(р-c))/a.
5. Огромная высота параллелограмма (H?) вычисляется еще проще, если знаменита площадь этой фигуры (S) и длина ее короткой стороны (a). Поделите первое на второе и получите надобный итог: H? = S/a.
6. Если вестима величина угла (?) в какой-нибудь из вершин параллелограмма, а также длины сторон (a и b), образующих данный угол, обнаружить крупную из высот тоже будет не дюже нетрудно. Для этого величину длинной стороны умножьте на синус знаменитого угла, а итог поделите на длину короткой стороны: H? = b*sin(?)/a.
Видео по теме
У которого противоположные стороны параллельны. Если у параллелограмма все углы прямые, то такой параллелограмм называется прямоугольником , а прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
Все параллелограммы обладают следующими свойствами:
- противоположные стороны равны:
AB = CD и BC = DA
- противолежащие углы равны:
∠ABC = ∠CDA и ∠DAB = ∠BCD
- сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = 180°
∠BCD + ∠CDA = 180°
∠CDA + ∠DAB = 180°
∠DAB + ∠ABC = 180° - в точке пересечения диагонали делятся пополам:
AO = OC и BO = OD
- каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника :
ΔABC = ΔCDA и ΔABD = ΔBCD
- точка пересечения диагоналей - это центр симметрии параллелограмма:
Точка O - это центр симметрии.
Высота
Нижняя сторона параллелограмма называется его основанием , а перпендикуляр, опущенный на основание из любой точки противоположной стороны, - высотой .
AD - это основание параллелограмма, h - высота.
Высота выражает расстояние между противоположными сторонами, поэтому определение высоты можно сформулировать ещё так: высота параллелограмма - это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную ей сторону.
Площадь
Для измерения площади параллелограмма можно представить его в виде прямоугольника. Рассмотрим параллелограмм ABCD :
Построенные высоты BE и CF образуют прямоугольник EBCF и два треугольника: ΔABE и ΔDCF . Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника EBCD и треугольника ABE , прямоугольник EBCF состоит из того же четырёхугольника и треугольника DCF . Треугольники ABE и DCF равны (по четвёртому признаку равенства прямоугольных треугольников), значит и площади прямоугольника с параллелограммом равны, так как они составлены из равных частей.
Итак, параллелограмм можно представить в виде прямоугольника, имеющего такое же основание и высоту. А так как для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины основания и высоты, значит и для нахождения площади параллелограмма нужно поступить также:
площадь ABCD = AD · BE
Из данного примера можно сделать вывод, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту . Общая формула:
S = ah
где S - это площадь параллелограмма, a - основание, h - высота.
Как определить высоту параллелограмма, зная некоторые из его остальных параметров? Таких, как площадь, длины диагоналей и сторон, величины углов.
Вам понадобится
- калькулятор
Инструкция
В задачах по геометрии, точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.
Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом определения площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:
S - площадь параллелограмма,
а - длина основания параллелограмма,
h - длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).
Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет равняться площади, разделенной на длину основания:
Например,
дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание - 10 см.-
найти: высоту параллелограмма.
h=50/10=5 (см).
Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный треугольник, то для нахождения высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных треугольников.
Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:
например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то
H=10*sin(30?)=10*1/2=5 (см).
Если в условиях задачи заданы длина прилежащей к высоте h (DE) стороне параллелограмма d (AD) и длина отсекаемой высотой части основания (АЕ), то высоту параллелограмма можно найти воспользовавшись теоремой Пифагора:
|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, откуда определяем:
h=|ED|=?(|AD|^2-|AE|^2),
т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания.
Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет:
h=?(5^2-3^2)=4 (см).
Если известны длина прилежащей к высоте диагональ (DВ) параллелограмма и длина отсекаемой высотой части основания (ВЕ), то высоту параллелограмма можно также найти воспользовавшись теоремой Пифагора:
|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, откуда определяем:
h=|ED|=?(|ВD|^2-|ВE|^2),
т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей диагонали и отсекаемой высотой (и диагональю) части основания.
Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 4 см, то длина высоты будет:
h=?(5^2-4^2)=3 (см).
Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.
Инструкция
Определите, которая из высот многоугольника должна иметь наибольшую длину. В треугольнике это отрезок, опущенный на самую короткую сторону, поэтому если в исходных условиях даны размеры всех трех сторон, то гадать не придется.
Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена площадь (S) фигуры, формула расчета большей из высот (H?) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой стороны - это и будет искомая высота: H? = 2*S/a.
Не зная площади, но имея длины всех сторон треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины - полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат пополам: р = (a+b+c)/2.
Трижды умножьте полупериметр на разность между ним и каждой из сторон: р*(р-a)*(р-b)*(р-c). Из полученного значения извлеките квадратный корень?(р*(р-a)*(р-b)*(р-c)) и не удивляйтесь - вы использовали формулу Герона для нахождения площади треугольника. Для определения длины наибольшей высоты осталось заменить полученным выражением площадь в формуле из второго шага: H? = 2*?(р*(р-a)*(р-b)*(р-c))/a.
Большая высота параллелограмма (H?) вычисляется еще проще, если известна площадь этой фигуры (S) и длина ее короткой стороны (a). Разделите первое на второе и получите нужный результат: H? = S/a.
Если известна величина угла (?) в какой-либо из вершин параллелограмма, а также длины сторон (a и b), образующих этот угол, найти большую из высот тоже будет не очень несложно. Для этого величину длинной стороны умножьте на синус известного угла, а результат разделите на длину короткой стороны: H? = b*sin(?)/a.