Типы прямолинейного движения. Равноускоренное движение

Чтобы найти координаты движущегося тела в любой момент времени, нужно знать проекции вектора перемещения на оси координат, а значит, и сам вектор перемещения. Что для этого нужно знать. Ответ зависит от того, какое движение совершает тело.

Рассмотрим сначала самый простой вид движения - прямолинейное равномерное движение .

Движение, при котором тело за любые равные промежутки совершает одинаковые перемещения, называют прямолинейным равномерным движением.

Чтобы найти перемещение тела в равномерном прямолинейном движении за какой-то промежуток времени t , надо знать, какое перемещение совершает тело за единицу времени, поскольку за любую другую единицу времени оно совершает такое же перемещение.

Перемещение, совершаемое за единицу времени, называют скоростью движения тела и обозначают буквой υ . Если перемещение на этом участке обозначить через , а промежуток времени через t , то скорость можно выразить отношением к . Поскольку перемещение - векторная величина, а время - скалярная , то скорость тоже векторная величина. Вектор скорости направлен так же, как и вектор перемещения.

Скоростью равномерного прямолинейного движения тела называют величину, равную отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло:

Таким образом, скорость показывает, какое перемещение совершает тело в единицу времени. Следовательно, чтобы найти перемещение тела, надо знать его скорость . Перемещение тела вычисляется по формуле:

Вектор перемещения направлен так же, как и вектор скорости, время t - величина скалярная.

По формулам, написанным в векторной форме, вычисления вести нельзя, поскольку векторная величина имеет не только численное значение, но и направление. При вычислениях пользуются формулами, в которые входят не векторы, а их проекции на оси координат, так как над проекциями можно производить алгебраические действия.

Поскольку векторы равны, то равны и их проекции на ось X , отсюда:

Теперь можно получить формулу для вычисления координаты x точки в любой момент времени. Нам известно, что

Из этой формулы видно, что при прямолинейном равномерном движении координата тела линейно зависит от времени, а это значит, что с ее помощью можно описать прямолинейное равномерное движение.

Кроме того, из формулы следует, что для нахождения положения тела в любой момент времени при прямолинейном равномерном движении нужно знать начальную координату тела x 0 и проекцию вектора скорости на ось, вдоль которой движется тело.

Необходимо помнить, что в этой формуле v x - проекция вектора скорости, следовательно, как всякая проекция вектора, она может быть положительной и отрицательной.

Прямолинейное равномерное движение встречается редко. Чаще приходится иметь дело с движением, при котором за равные промежутки времени перемещения тела могут быть различными. Это значит, что скорость тела с течением времени как-то изменяется. С переменной скоростью движутся автомобили, поезда, самолеты и т. д., брошенное вверх тело, падающие на Землю тела.

При таком движении для вычисления перемещения формулой пользоваться нельзя, поскольку скорость изменяется во времени и речь уже идет не о какой-то определенной скорости, значение которой можно подставить в формулу. В таких случаях пользуются так называемой средней скоростью, которая выражается формулой:

Средняя скорость показывает, чему равно перемещение, которое тело в среднем совершает за единицу времени.

Однако, при помощи понятия средней скорости основную задачу механики - определить положение тела в любой момент времени - решить нельзя.

Виды движения (равномерное, равноускоренное) и их графическое описание

По форме траектории движение делится на криволинейное (траектория движения тела кривая линия) и прямолинейное (траектория движения тела прямая линия).

При движении тела по прямолинейной траектории модуль вектора перемещения всегда совпадает с пройденным путём. При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути

Равномерное прямолинейное движение.

Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Скорость равномерного прямолинейного движения - это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела S за любой промежуток времен к значению этого промежутка t:

v х =S/t

Скорость - это физическая величина, показывающая быстроту изменения координаты.

Единицы измерения скорости - метры в секунду

Уравнение равномерного движения (перемещение тела при равномерном движении):

S=v х ·t

Уравнение координаты тела:

х=х 0 +v х ·t

Обозначения:

х - координата движущегося тела

х 0 - начальная координата движущегося тела

v ср -Средняя скорость равномерного прямолинейного движения

v х - Скорость равномерного прямолинейного движения

S - Перемещение тела (расстояние, на которое передвинулось тело)

t - Промежуток времени перемещения (время)

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

v

Зависимость ускорения от времени . Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) - прямая линия, которая лежит на оси времени.

Так как тело движется прямолинейно и равномерно (v =const), т.е. скорость со временем не изменяется, то график с зависимостью скорости от времени v (t) - прямая линия, параллельная оси времени.

Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника под графиком, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

при прямолинейном равномерном движении модуль вектора перемещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.

Зависимость перемещения от времени. График s(t) - наклонная линия:

Зависимость координаты от времени. График х(t) - наклонная линия:

Из графика видно, что проекция скорости равна:

v х =S/t=tga

Рассмотрев эту формулу, мы можем сказать, чем больше угол a , тем быстрей движется тело и оно проходит больший путь за меньшее время.

Правило определения скорости по графику s(t) и x(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.

Неравномерное прямолинейное движение.

Равномерное движение это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным илипеременным движением .

Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.

Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.

В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость , которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt :

Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории .

Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.

Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением .

Ускорение - это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:

Обозначения:

v х - конечная скорость тела при равноускоренном движении по прямой

v 0х - начальная скорость тела

a - ускорение тела

t - время движения тела

Ускорение показывает, как быстро изменяетcя скорость тела. Если ускорение положительно, значит скорость тела увеличивается, движение ускоренное. Если ускорение отрицательно, значит скорость уменьшается, движение замедленное.

Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].

Ускорение измеряют акселерометром

Уравнение скорости для равноускоренного движения:

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):

Обозначения:

Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой

Начальная скорость тела

Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

Ускорение тела

Время движения тела

Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:

- если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.

- если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения

Графическое представление неравномерного прямолинейного движения

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:

v (t) - изменение скорости со временем

S(t) - изменение перемещения (пути) со временем

a(t) - изменение ускорения со временем

Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) - прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени . При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости .

Графиком является наклонная линия.

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела - это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела - это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратичной зависимости

В координатах зависимость имеет вид .

Графиком является ветка параболы.

I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

ТЕМА 1.1. «КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО И КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ»

КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ

В этой главе предстоит изучить самый простой вид движения – ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ .

Прямолинейным называется движение, которое осуществляется вдоль прямой линии. Выражаясь научно, это движение, траектория которого представляет собой прямую линию.

Любое физическое явление описывается посредством математических формул, в которых фигурируют физические величины. Поэтому необходимо оговорить эти самые физические величины, характеризующие движение, в том числе и прямолинейное. Таковыми являются:

Таблица 1.1

Заметьте, что в таблице 1.1 умышленно не приводится определение времени, поскольку оно скорее философское, чем физическое. А для изучения этого раздела физики вполне достаточно бытового представления о времени.

Таким образом, при помощи этих четырех величин описываются все виды прямолинейного движения. А их всего три:

1. РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
2. РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
3. НЕРАВНОПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рассмотрим каждое из них. А начнем с самого простого – равномерного прямолинейного движения.

1. Равномерное прямолинейное движение – это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела не изменяется, то ускорения у него попросту нет. Математические признаки этого движения записываются следующим образом:

υ=const, a=0 .

Попытаемся представить себе это движение: тело движется со скоростью, к примеру,

5 м/с, и, поскольку движение равномерное, его скорость не изменяется. Это означает, что за каждую секунду оно проходит расстояние в 5 метров. Как определить, какое расстояние пройдет это тело за время t = 20 секунд? Для этого нужно 5 м/с умножить на 20 с – получим расстояние S = 100 м. Таким образом, можем записать формулу равномерного прямолинейного движения:

S = υt

Отсюда легко вывести формулу скорости: (1.1)

2. Равнопеременное движение – это движение с постоянным ускорением. В этом случае скорость все время изменяется, но изменяется равномерно: за каждую секунду на одну и ту же величину. Эта величина и равна ускорению тела. Например: тело движется с постоянным ускорением а = 2 м/с 2 . Если в определенный момент времени скорость тела равна, к примеру, 10 м/с, то в следующую секунду она увеличится на 2 м/с и будет равна 12 м/с, еще через секунду она увеличится еще на 2 м/с и станет равна уже

14 м/с – так каждую секунду. Получается равноускоренное движение.

Но тело может двигаться так, что его скорость будет не увеличиваться, а наоборот уменьшаться. И в этом случае ускорение у тела тоже есть. Но, если в предыдущем примере оно было больше нуля (а > 0 ), т.е. положительным, то при уменьшении скорости ускорение меньше нуля (а < 0 ), т.е. считается отрицательным. Например: тело движется с постоянным ускорением а = - 2 м/с 2 . Если в определенный момент времени скорость тела равна, к примеру, 10 м/с, то в следующую секунду она уменьшится на 2 м/с и будет равна 8 м/с, еще через секунду она уменьшится еще на 2 м/с и станет равна уже 6 м/с – и, в конце концов, через 3 секунды тело остановится. Получается равнозамедленное движение. Правда слово «равнозамедленное» применять не принято, поэтому такое движение считается равноускоренным, но с отрицательным ускорением. А, в целом, движение с постоянным ускорением называется равнопеременным.

Признаки равнопеременного движения можно записать следующим образом:

υ ≠ const, a = const(a≠0) .

Математически равнопеременное движение описывается двумя уравнениями –

уравнение пути и уравнение скорости, образующие систему:

(1.2),

где υ 0 – начальная скорость тела (т.е. скорость в начале движения).

3. Неравнопеременное движение – это движение с изменяющимся ускорением . В случае этого движения все время изменяется не только скорость, но и ускорение. При чем изменяться они могут совершенно произвольно: могут все время увеличиваться или все время уменьшаться, а могут то увеличиваться, то уменьшаться. Но, как и в предыдущем случае, если скорость увеличивается, значит ускорение в это время положительное и сонаправлено со скоростью. А, если скорость уменьшается, то ускорение – отрицательное и направлено противоположно скорости (см. рис.1.1 и 1.2).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

а > 0 а < 0

Признаки неравнопеременного движения можно записать следующим образом:

υ ≠ const, a ≠ const.

Как видите, из всех прямолинейных движений этот вид – самый сложный. Но, тем не менее, и для него существуют формулы, позволяющие просчитывать все характеристики движения. Их тоже две: уравнение скорости и уравнение ускорения.

Символ « » означает, что нужно выполнить действие дифференцирования по времени. Формально дифференцирование выполняется так же, как и взятие производной, только записывается в другой форме.

Обратите внимание, что формулы (1.1) и (1.4) отличаются лишь наличием символа дифференцирования. И неудивительно, ведь они описывают разновидности прямолинейного движения. И формулы (1.4) и (1.5) являются общими формулами для всех трех случаев прямолинейного движения.

Возникает вопрос: как можно вычислить, например, S, руководствуясь этими формулами? – Для этого нужно совершить действие, обратное дифференцированию. А таковым является интегрирование. Проделаем это.

Равномерное движение - это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение - это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения - это прямая линия.

Это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

vcp = v

Скорость равномерного прямолинейного движения - это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

= / t

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

vx = v, то есть v > 0

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

s = vt = x - x0

где x 0 - начальная координата тела, х - конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

х = x0 + vt

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

х = x0 - vt

Равномерное прямолинейное движение - это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение - это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение - это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение - это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение - это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости - м/с.

vcp = s / t

Это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

= "

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

vx = x’

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

= " = " Учитывая, что 0 - скорость тела в начальный момент времени (начальная скорость), - скорость тела в данный момент времени (конечная скорость), t - промежуток времени, в течение которого произошло изменение скорости, будет следующей:

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

0 + t Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

vx = v0x ± axt

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения - это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени - это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

0a = v0 bc = v

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «-» (минус).

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t 1 равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а x < 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Заключается в том, что, рассматривая того или иного тела, следует учитывать, что все его точки движутся в одном и том же направлении с абсолютно одинаковой скоростью. Именно поэтому необязательно давать характеристику движения всего данного тела, можно ограничиться лишь одной его точкой.

К основным характеристикам любого движения относятся его траектория, перемещение и скорость. Траектория - это всего лишь существующая только в воображении линия, вдоль которой осуществляется движение данной материальной точки в пространстве. Перемещение представляет собой вектор, направленный от начальной точки к конечной. Наконец, скорость является общим показателем движения точки, который характеризует не только ее направление, но и быстроту перемещения относительно какого-либо тела, принятого за точку отсчета.

Равномерное прямолинейное движение - это во многом воображаемое понятие, которое характеризуется двумя основными факторами - равномерностью и прямолинейностью.

Равномерность движения означает, что оно осуществляется с постоянной скоростью без какого-либо ускорения. Прямолинейность движения подразумевает, что оно происходит вдоль прямой линии, то есть его траектория - это абсолютно прямая линия.

Исходя из всего вышеперечисленного, можно сделать вывод, что равномерное прямолинейное движение - это особый вид движения, в результате которого тело за абсолютно равные промежутки времени осуществляет одно и то же перемещение. Так, разбив определенный интервал на равные промежутки (например, по одной секунде), можно будет увидеть, что при указанном выше движении тело будет за каждый из этих отрезков проходить одно и то же расстояние.

Скорость равномерного прямолинейного движения есть которая в численном выражении равна отношению пути, пройденного телом за тот или иной промежуток времени, к числовому значению этого промежутка. Эта величина никаким образом не зависит от времени, более того, стоит отметить, что скорость равномерного прямолинейного движения в любой точке траектории абсолютно совпадает с перемещением тела. При этом количественное значение за взятый произвольно промежуток времени равно

Равномерное прямолинейное движение характеризуется особым подходом к пути, которое проходит тело за определенный промежуток времени. Пройденный путь при таком есть не что иное, как модуль перемещения. Перемещение же, в свою очередь, представляет собой произведение скорости, с которой двигалось тело, на время, в течение которого это перемещение осуществлялось.

Вполне естественно, что если вектор перемещения совпадает с положительным направлением оси абсцисс, то проекция рассчитанной скорости будет не только положительной, но и совпадать с величиной скорости.

Равномерное прямолинейное движение можно представить, в том числе, и в виде уравнения, в котором будет отражаться зависимость между координатами тела и времени.